Famille d'entiers divisibles par 38 - Corrigé

Énoncé

1. Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{Z}\) ,  \(n^{19}-n\) est divisible par \(38\) .

2. Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{Z}\) , pour tout \(k \in \mathbb{N}^\ast\) , \(n^{k+18}-n^k\) est divisible par \(38\) .

Solution

1. Soit \(n \in \mathbb{Z}\) . D'après le petit théorème de Fermat (forme faible), on a :  \(n^{19}-n \equiv 0 \ [19]\) , autrement dit \(n^{19}-n\) est divisible par \(19\) .

De plus, \(n^{19}-n\) est divisible par \(2\) , car :

• si \(n \equiv 0 \ [2]\) , alors \(n^{19}-n \equiv 0^{19}-0 \equiv 0 \ [2]\) ;
• si \(n \equiv 1 \ [2]\) , alors \(n^{19}-n \equiv 1^{19}-1 \equiv 0 \ [2]\) .

Comme \(19\) et \(2\) sont premiers entre eux, on déduit du corollaire du théorème de Gauss que \(n^{19}-n\) est divisible par \(19 \times 2=38\) .

2. Soit \(n \in \mathbb{Z}\) . Montrons par récurrence que, pour tout \(k \in \mathbb{N}^\ast\) , \(n^{18+k}-n^k\) est divisible par \(38\) .

• Initialisation 
  Pour \(k=1\) , on a vu à la question 1. que \(n^{19}-n\) est divisible par \(38\) .
  La propriété est donc initialisée au rang \(k=1\) .
  
• Hérédité
  Soit \(k \in \mathbb{N}^\ast\) tel que \(n^{k+18}-n^k\) est divisible par \(38\) .
  Montrons que \(n^{k+1+18}-n^{k+1}\) est divisible par \(38\) , autrement dit que \(n^{k+19} \equiv n^{k+1} \ [38]\) .
  Par hypothèse de récurrence, on a : \(n^{k+18} \equiv n^k \ [38]\) , 
  donc : \(\begin{align*}n^{k+19}\equiv n^{k+18} \times n\equiv n^k \times n\equiv n^{k+1} \ [38]\end{align*}\)  
  et la propriété est donc héréditaire.
  
• Conclusion
  Pour tout \(k \in \mathbb{N}^\ast\) , \(n^{18+k}-n^k\) est divisible par \(38\) .